 Регистрирайте се
Линейни нехомогенни диференциални уравнения
|
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
curls
Начинаещ
Регистриран на: 19 Mar 2009
Мнения: 8
 
|
 Пуснато на: Thu Mar 19, 2009 6:18 pm Заглавие: Линейни нехомогенни диференциални уравнения |
|
|
Здравейте!
Никъде из сборниците не мога да намеря начина за решаване на
у''-3у'+2у=х.е2х
или
у''-2у'+10у=37cos3х
Последната промяна е направена от curls на Mon Apr 20, 2009 2:20 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Thu Mar 26, 2009 1:22 pm Заглавие: Re: Ойлерово уравнение |
|
|
| curls написа: | Здравейте!
Никъде из сборниците не мога да намеря начина за решаване на
у''-3у'+2у=х.е2х
или
у''-2у'+10у=37cos3х |
Аз не знам дали горните уравнения се наричат "Ойлерово уравнение", но може и така да е.
И двете уравнения са Линейни нехомогонни диференцилни уравнения (ЛНДУ) от 2-ри ред с постоянни коефиценти. В общия случай ЛНДУ от n-ти ред с постоянни коефиценти са от вида:
[tex] y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+....+a_{n-1}y'+a_{n}y=F(x)[/tex],
където [tex] a_{1},a_{2},....a_{n}[/tex] са контсанти, а F(x) e функция на х.
Общото решение на ЛНДУ е от вида: [tex] y = Y+\gamma [/tex],
където Y е общото решение на съответното му хомогенно уравнение т.е Y е решение на уравнението: [tex] y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+....+a_{n-1}y'+a_{n}y=0[/tex],
а [tex] \gamma [/tex] е едно частно решение на [tex] y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+....+a_{n-1}y'+a_{n}y=F(x)[/tex]
Намирането на [tex] \gamma [/tex], когато F(x) е произволна функция, става чрез метода на вариране на константите (Метод на Лагранж).
За някой специални видове функции F(x), частното решение [tex] \gamma[/tex] може да се намери без да се изпозлва Метода на Лагранж.
I. Нека [tex] F(x) = e^{\lambda x}P_m(x)[/tex], където [tex] P_m(x) [/tex] е полином от [tex] m[/tex]-та степен
1. Ако [tex]\lambda [/tex] НЕ Е корен на характеристичното уравнение на съответното хомогенно уравнение, частното решение е от вида:
[tex] \gamma = e^{\lambda x}Q_m(x)[/tex].
2. Ако [tex]\lambda [/tex] Е k-кратен корен на характеристичното уравнение на съответното хомогенно уравнение, частното решение е от вида:
[tex] \gamma = x^{k}^e^{\lambda x}Q_m(x)[/tex].
И в двата случая [tex] Q_m(x)[/tex] е полином от [tex] m [/tex]-та степен с неопределено коефиценти.
II. Нека F(x) = [tex] e^{\alpha x}[P_m(x)cos(\beta x) + Q_n(x)sin(\beta x)] [/tex],
където [tex] P_m(x)[/tex] и [tex] Q_n(x) [/tex] са полиноми от степени съответно [tex]m [/tex] и [tex]n[/tex].
1. Ако [tex] \alpha +\beta i [/tex] НЕ Е корен на характеристичното уравнение на съответното хомогенно уравнение, частното решение е от вида:
[tex] \gamma = e^{\alpha x}[M_p(x)cos(\beta x) + N_p(x)sin(\beta x)][/tex].
2. Ако [tex] \alpha +\beta i [/tex] Е k-a кратен корен на характеристичното уравнение на съответното хомогенно уравнение, частното решение е от вида:
[tex] \gamma = x^{k}e^{\alpha x}[M_p(x)cos(\beta x) + N_p(x)sin(\beta x)][/tex].
И в двата случая [tex] M_p(x)[/tex] и [tex] N_p(x)[/tex] са полиноми с неопределни коефиценти от степен [tex] p [/tex], ревна на по-голямото от числата [tex] m [/tex] и [tex] n [/tex]. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Thu Mar 26, 2009 2:56 pm Заглавие: Re: Ойлерово уравнение |
|
|
| curls написа: |
у''-3у'+2у=х.е2х |
Корените на характерестичното на съответното хомогенно диференциално уравнение уравнение у''-3у'+2у=0 са:
[tex] r_1=1, r_2 = 2[/tex] =>
Общото решение на съответното хомогенно диференциално уравнение е:
[tex]Y = C_1e^{x}+C_2e^{2x}[/tex]
Съгласно по-горе написанато =>[tex] F(x)=xe^{2x}[/tex] т.е. [tex] \lambda =2, P_m(x) = x, m=1 [/tex]
Попадаме в случай I.2, k=1 (защото [tex]\lambda = r_2=2[/tex] и е еднократен корен),[tex] Q_m(x)=Q_1(x)=Ax+B [/tex]=> частното решение е от вида:
[tex] \gamma = x^{k}e^{\lambda x}Q_m(x)=x^{1}e^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}(Ax+B)[/tex]
Остава да се намерят коефицентите А и В.
[tex] \gamma ' = e^{2x}(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)[/tex]
[tex] \gamma '' = 2e^{2x}(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B)[/tex]
В даденото уравнение у, у' и у'' се заметсват с така получените[tex]\gamma , \gamma ', \gamma ''[/tex]
[tex] 2e^{2x}(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B) -3e^{2x}(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)+2xe^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}[/tex] дели се цялото уравнение на [tex] e^{2x}>0[/TEX]
[tex] 2(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B) -3(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)+2x(Ax+B)=x[/tex]
[tex] x=2Ax+2A+B[/tex]<=>равенство на полиноми <=>[tex]2A=1[/tex] и [tex]2A+B=0[/tex] => [tex] A=\frac{1}{2 }, B=-1[/tex] =>
[tex] \gamma =xe^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}(\frac{1}{ 2}x-1)=\frac{1}{2 } xe^{2x}(x-2)[/tex]
Окончателното решение на задачата е:
[tex] y = Y + \gamma = C_1e^{x}+C_2e^{2x}+ \frac{1}{2 } xe^{2x}(x-2)[/tex], където [tex] C_1, C_2[/tex] са произволни константи.
п.п. Опитай се сам да решиш 2 задача и ако имаш проблем пиши. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sun Mar 29, 2009 12:21 pm Заглавие: |
|
|
[tex]y''(x)-2 y'(x)+10 y(x)=37 \cos (3 x)[/tex]
Решението на хомогенното уравнение е:
[tex]y_1=e^x \left(c_1 \sin (3 x)+c_2 \cos (3 x)\right)[/tex]
Частното решение е:
[tex]y_2=\cos (3 x)-6 \sin (3 x)[/tex]
Общото и окончателно решение има следния красив вид:
[tex]y(x)=\left(c_1 e^x-6\right) \sin (3 x)+\left(c_2 e^x+1\right) \cos (3 x)[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
curls
Начинаещ
Регистриран на: 19 Mar 2009
Мнения: 8
|
| Пуснато на: Mon Apr 20, 2009 2:49 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря за отговорите!
stflyfisher прав си  - двете уравнения са Линейни нехомогонни диференцилни.
Не мога да разбера само че как се стига до крайния резултат на второто уравнение,по точно на дясната част,защото формулата е с e^{alpha.x} и е с два полинома а имаме само един в уравнението...? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Mon Apr 20, 2009 3:49 pm Заглавие: |
|
|
| curls написа: | Благодаря за отговорите!
stflyfisher прав си - двете уравнения са Линейни нехомогонни диференцилни.
Не мога да разбера само че как се стига до крайния резултат на второто уравнение,по точно на дясната част,защото формулата е с e^{alpha.x} и е с два полинома а имаме само един в уравнението...? |
Както най-вероятно stflyfisher ще ти обясни, нещата са следните:
дясната част просто трябва да я припознаеш в случаи II, както виждам си се ориентитала. Очевидно [tex] \alpha =0 -> e ^{\alpha }=1[/tex], това за Е. За полиномите, както също перфектно е обяснено те са от степен m и n, където m=0 и n=0, сега това са полиноми - константи, е да в дясната част втория полином е равен на 0 (0 е константа да не забравяме). И видът в който се търси дясната част е по ощбия от двата случя.
[tex]y_2=M sin{\beta x}+ N cos{\beta x}[/tex]
Където M и N са полиноми от степен 0, т.е. константи. Предварителното приемане за M и N да заемат стойност (например 0) е голяма грешка, ако се получи 0 от "Вариране на константите " или от системата на Лагранж тогава е друго.
Надявам се сега да е станало ясно.
 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Tue Apr 21, 2009 3:16 pm Заглавие: |
|
|
| curls написа: | Благодаря за отговорите!
stflyfisher прав си - двете уравнения са Линейни нехомогонни диференцилни.
Не мога да разбера само че как се стига до крайния резултат на второто уравнение,по точно на дясната част,защото формулата е с e^{alpha.x} и е с два полинома а имаме само един в уравнението...? |
[tex]y''-2y'+10y=37cos3x =>[/tex]
Съгласно по-горе написаното:
[tex]F(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)cos(\beta x)+Q_n(x)sin(\beta x)][/tex]
За тази конкретна задача:
[tex] F(x)=37cos3x => \alpha = 0, \beta =3,P_m(x)=37, Q_n(x)=0, m=0, n=0[/tex],
защото
[tex] F(x)=37cos3x=1(37cos3x+0sin3x) = e^{0x}(37cos3x+0sin3x)[/tex]
[tex] 1=e^0=e^{0x}[/tex]
[tex] P_m(x) = 37[/tex] e полином от нулева степен т.е [tex] m=0[/tex]
[tex] Q_m(x) = 0[/tex] e полином от нулева степен т.е [tex] n=0[/tex]
и [tex] \alpha +\beta i = 0+3i[/tex]
тъй като корените на характеристичното уравнение на съответното ЛХДУ са:
[tex]r_1 = 1+ 3i, r_2=1-3i [/tex]
и следователно попадаме в случай II.1 от по-горе написанато =>
частното решение е от вида:
[tex] p = max(m,n)=max(0,0)=0[/tex]
[tex]\gamma = e^{\alpha x}[M_p(x)cos(\beta x) +N_p(x)sin(\beta x)] = e^{0x}[M_0(x)cos(3x)+N_0(x)sin(3x)] = Mcos(3x)+Nsin(3x)[/tex],
[tex]M,N\in R[/tex]
Остават да се намерят числта [tex] M, N[/tex], за тази цел виж по горе. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
curls
Начинаещ
Регистриран на: 19 Mar 2009
Мнения: 8
|
| Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 10:35 am Заглавие: |
|
|
Всичко е ясно  Благодаря на всички ! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
eli7ooooo
Начинаещ
Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38
|
| Пуснато на: Sat May 09, 2009 1:19 pm Заглавие: Re: Ойлерово уравнение |
|
|
| stflyfisher написа: |
[tex] \gamma = x^{k}e^{\lambda x}Q_m(x)=x^{1}e^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}(Ax+B)[/tex]
Остава да се намерят коефицентите А и В.
[tex] \gamma ' = e^{2x}(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)[/tex]
[tex] \gamma '' = 2e^{2x}(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B)[/tex]
В даденото уравнение у, у' и у'' се заметсват с така получените[tex]\gamma , \gamma ', \gamma ''[/tex]
[tex] 2e^{2x}(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B) -3e^{2x}(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)+2xe^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}[/tex] дели се цялото уравнение на [tex] e^{2x}>0[/TEX]
[tex] 2(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B) -3(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)+2x(Ax+B)=x[/tex]
[tex] x=2Ax+2A+B[/tex]<=>равенство на полиноми <=>[tex]2A=1[/tex] и [tex]2A+B=0[/tex] => [tex] A=\frac{1}{2 }, B=-1[/tex] =>
[tex] \gamma =xe^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}(\frac{1}{ 2}x-1)=\frac{1}{2 } xe^{2x}(x-2)[/tex]
Окончателното решение на задачата е:
[tex] y = Y + \gamma = C_1e^{x}+C_2e^{2x}+ \frac{1}{2 } xe^{2x}(x-2)[/tex], където [tex] C_1, C_2[/tex] са произволни константи.
п.п. Опитай се сам да решиш 2 задача и ако имаш проблем пиши. |
това неможах да го разбера как от
[tex] \gamma = x^{k}e^{\lambda x}Q_m(x)=x^{1}e^{2x}(Ax+B)=xe^{2x}(Ax+B)[/tex] стана [tex] \gamma ' = e^{2x}(2Ax^{2}+2(A+B)x+B)[/tex] и [tex] \gamma '' = 2e^{2x}(2Ax^{2}+2(2A+B)x+A+2B)[/tex]
 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
